Տիգրան Մեծի ժամանակշրջանում

Մի օր երբ ուսումնասիրում էի Հայաստանի քարտեզը պատահական գտա Տիգրան Մեծի ժամանակաշրջանի քարտեզները։ Հետաքրքրությունից ես այնքան տարվեցի, որ քունս տարավ։ Աչքերս ինքնիշխան սկսեցին փակվել, և երբ ես արդեն քնում էի լսեցի բարձր շրկոց ու աղմուկի ձայն։ Ինձ արթնացրեց ինչ-որ անծանոթ և սկսեցեց գեղեցիկ ժպտալ։ Հենց ուշքի եկա հասկացա, որ ես նորից ծովից ծով Հայաստանում եմ։ Մի գյուղացու խնդրեցի, որ ինձ ցույց տա այն ամեն ինչչ ինչ հնարավոր կլինի։ Նա մինչև վերջին պահը ինձ մերժում էր, բայց տեսնելով 100 դրամը իմ գրպանում նա մտածեց, որ դա իսկական արծաթ է և առաջարկեց փողի դիմաց ինձ տանել մինչև Կասպից ծով։ Ես հասկանում էի, որ սխալ եմ կատարում, բայց այդ պահին իմ ցանկությունը շա՜տ մեծ էր, դրա համար ես գնացի այդ քայլին։ Ես տեսա մեծ նվաճումներ և ավեի լավ ծանոթացա իմ երկրի մշակույթին։

Պարապմունք 40

Պարապմունք 40.
Թեմա՝ Ամբողջ թվերի բաժանումը

Տեսական նյութ

Ձևակերպենք ամբողջ թվերի բաժանման համապատասխան կանոնները:

Պարապմունք 40.
Թեմա՝ Ամբողջ թվերի բաժանումը

Տեսական նյութ

Կանոն 1.

Միևնույն նշանն ունեցող ամբողջ թվերի քանորդը դրական

ամբողջ թիվ է, որի բացարձակ արժեքը հավասար է բաժանելիի և

բաժանարարի բացարձակ արժեքների քանորդին:

օրինակ՝

(-15):(-5)=+|-15||-5|=+155=3

Կանոն 2.

Տարբեր նշաններ ունեցող ամբողջ թվերի քանորդը բացասական

ամբողջ թիվ է, որի բացարձակ արժեքը հավասար է

բաժանելիի և բաժանարարի բացարձակ արժեքների քանորդին:

Օրինակ՝

(-15):(+5)=-|-15||+5|=-155=-3:

Նշենք նաև, որ ոչ մի ամբողջ թիվ 0-ի բաժանել չի կարելի, իսկ 0-ն

ցանկացած ամբողջ թվի բաժանելու արդյունքը հավասար է 0-ի։

Առաջադրանքներ

1) Հաշվե՛ք / կրկնողություն.

ա) (–7) · (+16) = -112

բ) (+16) · (–4) = -64

գ) (–1) · (+1) = 1

դ) (+20) · (–19) = -380

ե) (–4) · (+5) = -20

զ) (+23) · (–6) = -138

2) Հաշվե՛ք.

ա) +38 ։ (–19) = -2

դ) –420 ։ (–15) = +28

է) 0 ։ (–14) = 0

բ) –600 ։ (–150) = +4

ե) –531 ։ (+3) = -177

ը) –121 ։ (–11) = +11

3) Գտե՛ք այն թիվը, որը աստղանիշի փոխարեն գրելու դեպքում

կստացվի հավասարություն.

ա) –3 · —7 = 21,  

գ) –10 · 0 = 0,  

ե) –15 · -3 = 45, 

բ) 6 · -6 = –36,  

դ) –9 · 9 + 1 = –80,  

զ)  3 · 7 = 21։

4) Հաշվե՛ք.

ա) 8 ։ (–2) – 14 ։ (–7) =2

բ) –55 ։ 11 + 48 ։ (–16) = 8

5) a-ի և b-ի ի՞նչ արժեքների դեպքում կստացվի հավասարություն, բեր օրնակ

ա) a : b = 0,
0:20=0
գ) a : b = a,

5:1=5

բ) a : b = 1,

20։20=1
դ) a : b = –a
-7:1=-7

6) Հաշվիր՝
2.⅕+2.¼=11/5+9/4=89/20
3.15/21-3=78/21-3/1=15/21
1.2/3×2/7=5/3×2/7=10/21
8.½:2=17/2×1/2=17/4

7) Ապրանքի գինը 2500 դրամ է, 20% զեղջելուց հետո ինչքա՞ն կդառնա ապրանքի գինը:

2500×20:100=500

2500-500=2000

8) Այսօր մաթեմատիկական ֆլեշմոբի հերթական օրն է, չմոռանաս մասնակցել / մինչև կիրակի օրը կարող ես լրացնել քեզ դուր եկած տարբերակը/:

Պարապմունք 39

Թեմա՝  Ամբողջ թվերի բազմապատկումը

Տեսական նյութ

Կանոն 1.

Տարբեր նշաններ ունեցող երկու ամբողջ թվերի արտադրյալը 

բացասական ամբողջ թիվ է, որի բացարձակ արժեքը հավասար է  արտադրիչների բացարձակ արժեքների արտադրյալին։

Օրինակ՝ (–6) · (+3) = –(|-6| · |+3|) = –(6 · 3) = –18։

Կանոն 2.

Միևնույն նշանն ունեցող երկու ամբողջ թվերի արտադրյալը 

դրական ամբողջ թիվ է, որի բացարձակ արժեքը հավասար է 

արտադրիչների բացարձակ արժեքների արտադրյալին։

Օրինակ՝ (–6) · (-3) = +(|-6| · |-3|) = +(6 · 3) = +18։

Կազմենք մի աղյուսակ, որում երևում է «նշանների կանոնը» 

ամբողջ թվերի բազմապատկման համար, այսինքն՝ ցույց է տալիս, թե արտադրիչների նշաններով ինչպես է որոշվում ամբողջ թվերի արտադրյալի նշանը.

Ամբողջ թվի և զրոյի բազմապատկման արդյունքը միշտ համարվում  է զրոյի հավասար։

Առաջադրանքեր.

1) Հաշվե՛ք.

ա) (–8) · (+16)=-128, 

բ) (+17) · (–4)=-68, 

գ) (–1) · (+1)=-1, 

դ) (+20) · (–18)=-360,

ե) (–7) · (+5)=-35, 

զ) (+21) · (–6)=-126

է) (–1) · (+7)=-7

ը) (+15) · (–60)=-900

2) Առանց բազմապատկում կատարելու համեմատե՛ք.

ա) (–5) · (–7) > 0, 

բ) (+3) · (+9) > (+8) · (–7),

գ) (–8) · (+6) < 0, 

դ) (–14) · (–12) > (–10) · (+2),

ե) (+16) · (–5) < 0, 

զ) (+20) · (–1) < (–6) · (–3)
 

3) Ի՞նչ թիվ պետք է գրել աստղանիշի փոխարեն, որպեսզի ստացվի ճիշտ հավասարություն.

ա) -21 ։ 3 = –7, 

բ) 48 ։ (–8) = –6, 

գ) (–80) ։ (–20) = 4,

դ) -10 ։ (–5) = 2, 

ե) (–45) ։ 15 = –3, 

զ) (80) ։ (–16) = –5

4) Հետևյալ թվերը ներկայացրե՛ք երկու արտադրիչների արտադրյալի տեսքով, որոնցից գոնե մեկը բացասական թիվ է.

–40=-20×2
+32=-16x(-2)
–1=-1×1
0=-2×0
–12=-6×2
+9=(-4.5)x(_2)

5) Կատարե՛ք ամբողջ թվերի բազմապատկում.

ա) (–4) · (–5) = 20
գ) (+32) · (–6) = -192
ե) (+1) · (+23) = 23
է) (–19) · (+7) = -133

բ) (–8) · 0 = 0
դ) 0 · (–1) = 0
զ) (+14) · (–25) = -350
ը) (–10) · (+12) = 120

6) Ի՞նչ նշան կունենա երեք ամբողջ թվերի արտադրյալը, որոնցից` 

 ա) երկուսը բացասական թվեր են, մեկը` դրական, 

+

 բ) մեկը բացասական թիվ է, երկուսը` դրական:

—

Պարապմունք 38

Թեմա՝ Ամբողջ թվերի հանումը.

Իմանալով, թե ինչպես է կատարվում ամբողջ թվերի գումարումը` դժվար չէ հասկանալ, թե ինչպես պիտի կատարվի նրանց հանումը։

Ենթադրենք, թե +3 թվից պետք է հանել +7 թիվը։  Այս թվերի տարբերությունն այն թիվն է, որը հանելիին (+7) գումարելով՝ կստանանք նվազելին (+3)։ Դա –4 թիվն է, քանի որ (+7) + (–4) = +3։

Ուրեմն (+3) – (+7) = –4։

Նույն կերպ (–5) – (–2) = –3, քանի որ (–3) + (–2) = –5:

Մյուս կողմից` (+3) + (–7) = –4, (–5) + (+2) = –3, ուստի կարող ենք գրել

(+3) – (+7) = (+3) + (–7), (–5) – (–2) = (–5) + (+2):

Բերենք օրինակ.

(+12) – (+9) = (+12) + (–9) = +3,

(–11) – (–7) = (–11) + (+7) = –4,

(+5) – (+4) = (+5) + (–4) = +1։

Այս օրինաչափությունը ճիշտ է ցանկացած երկու ամբողջ թվերի համար, ուստի մի ամբողջ թվից մեկ ուրիշ ամբողջ թիվ հանելու համար պետք է նվազելիին գումարել հանելիին հակադիր թիվը։

Բերված կանոնից հետևում է, որ ամբողջ թվից զրո հանելիս ստացվում է նույն ամբողջ թիվը, իսկ զրոյից որևէ ամբողջ թիվ հանելիս ստացվում է հանելիին հակադիր թիվը:

Առաջադրանքներ
1) Ինչպես են ամբողջ թվերը իրարից հանում, գրիր կանոնը:

2) Գրիր երկու բացասական թվեր և իրարից հանիր:

3)Հաշվիր.

ա) 6 – 7 = -1
բ) –30 – 44 = -74
գ) 12 – 9 = 3
դ) 18 – 23 = -5
ե) –11 – 9 = -20
զ) 8 – 2 = 6
է) –16 – 7 = -23
ը) 0 –16 = -16

4) Կատարիր հանումը.

ա) 34–(–7)=41
բ) 101 – (–8)=109
գ) 29 – (–11)=40
դ) –70 – (–14)=-56
ե) –48–(–25)=-23
զ) –17 – (–34)=17
է) –52 – (–2)=50
ը) 82 – (–3)=85:

5) Գտե՛ք և համեմատե՛ք արտահայտությունների արժեքները.

ա) 8 – 3 > 3 – 8,
գ) –25 – (–3) < –3 – (–25),
բ) (–7) – 4 < 4 – (–7),
դ) 6 – (–2) > (–2) – 6։

6) Ի՞նչ թիվ պետք է գրել աստղանիշի փոխարեն, որպեսզի հավասարու թյուն ստացվի.

ա) 2 – 8 = –6,
դ) -28+ 25 = –3,
է) -3+ 9 = 6,
բ) 0 – (-7) = 7,
ե) –15+14 = –1,
ը) 19 – 11= 8,
գ) 3 + (-23) = –20,
զ) –(-10) + 10 = 20,
թ) –61 – (-83) = 22։

7) Գտե՛ք արտահայտության արժեքը.

ա) (35 – 17) – 20 = -2,
դ) (–18 + 6) – 39 = -12-39=-51

8) Բերե՛ք երկու այնպիսի ամբողջ թվերի օրինակ, որոնց տարբերությունը լինի  դրական թիվ:

+8-(+2)=6

9) Սուզանավի խորաչափը ցույց էր տալիս ծովի մակերևույթից 145 մ խորություն (–145 մ)։ Որոշ ժամանակ անց խորաչափի ցուցմունքը դարձավ –173 մ։ Ինչքա՞ն էր սուզանավի ընթացքի նախկին և նոր խորությունների տարբերությունը։

-145-(-173)=28

Օլիմպիադա մաթեմաթիկայից

Ես առաջին անգամ մասնակցեցի մաթեմատիկայի մրցույթի /օլիմպիադայի/։ Ինձ թվում էր, որ մրցույթը կլինի շատ հեշտ, բայց իրականում դԺվար էր։ Ես տրամաբանությունից առաջին շարքում, բայց ինչպես ասվում է, կարևորը հաղթանակը չէ, այլ մասնակցությունը։ Սենյակում անտանելի լարված իրավիճակ էր, բոլորը չափից շատ մտահոգ էին, իսկ ուսուցիչների ներկայությունը մեզ ավելի էր խանգարում։

Պահանջում եմ հաջորդ փուլում օլիմպիադան կատարվի առանց ուսուցիչների ներկայության։